{"id":14861,"date":"2018-10-31T13:09:17","date_gmt":"2018-10-31T12:09:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.campuseducacion.com\/blog\/?p=14861"},"modified":"2020-10-29T12:35:50","modified_gmt":"2020-10-29T11:35:50","slug":"las-agujas-de-buffon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.campuseducacion.com\/blog\/revista-digital-docente\/las-agujas-de-buffon\/","title":{"rendered":"Las Agujas de Buffon"},"content":{"rendered":"
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Resumen<\/strong>: En este art\u00edculo se replantea el problema de Buffon estableciendo una relaci\u00f3n directa entre proporcionalidad geom\u00e9trica y probabilidades. Se presenta un breve repaso de algunas propuestas ya existentes seguidas de una ampliaci\u00f3n adecuada para alumnos de 4\u00ba de ESO a trav\u00e9s de teselas diferentes del plano. Tambi\u00e9n se presenta una ampliaci\u00f3n de las actividades para alumnos de bachillerato a trav\u00e9s de un replanteo del problema en tres dimensiones, usando para ello generadores de n\u00fameros aleatorios.<\/em><\/p>\n

Palabras clave<\/strong>: Buffon; 4\u00ba ESO; Bachillerato; N\u00fameros aleatorios; Tesela; Tres dimensiones; Probabilidad te\u00f3rica; Probabilidad emp\u00edrica.<\/em><\/p>\n

Abstract<\/strong>: This paper rethinks Buffon\u2019s needle problem by establishing a direct relationship between geometric proportionality and probability. It presents a brief review of some already existing proposals followed by an expansion of these solutions through different tiles of the plane for students fit for students of this level. It also presents an extension of the activities for high school students through a reconsideration of the problem in three dimensions, using random number generators.<\/em><\/p>\n

Keywords<\/strong>: Buffon; Secondary Education; Random numbers; Tile; Three dimensions; Theoretical probability; Empiric probability.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\nAplicaci\u00f3n did\u00e1ctica del problema de las #AgujasDeBuffon. #CEdRevistaDigitalDocente <\/a><\/span>Compartir en X<\/a><\/span>\n

LAS AGUJAS DE BUFFON<\/strong><\/p>\n

El problema de Buffon original<\/h2>\n

En un principio Georges Louis Leclerc, conde de Buffon<\/strong>, en su Historia Natural publicada en 1773 plante\u00f3 el problema de calcular la probabilidad de que al lanzar una aguja de longitud l<\/em> sobre una superficie con l\u00edneas paralelas separadas una distancia d<\/em>, tocase alguna de las l\u00edneas.<\/p>\n

La respuesta al problema de Buffon tiene diferentes soluciones dependiendo de la relaci\u00f3n entre l<\/em> y d<\/em>, de tal modo que intuitivamente se puede deducir que cuanto m\u00e1s peque\u00f1a sea la aguja, menor ser\u00e1 la probabilidad. Dicha intuici\u00f3n no constituye en ning\u00fan caso una demostraci\u00f3n matem\u00e1tica, pero se tiene que tener en cuenta que dicha prueba escapa al objetivo del presente trabajo por cuanto supera por mucho el nivel de ESO y de Bachillerato. Se pueden encontrar diversas demostraciones en internet. Para el caso l<\/em>=d<\/em>, por ejemplo, la probabilidad es 2\/\u03c0.<\/p>\n

Revisi\u00f3n de propuestas existentes<\/h2>\n

La revisi\u00f3n que veremos dejar\u00e1 de lado simples menciones existentes en la bibliograf\u00eda cient\u00edfica (por ejemplo, Hoffman, 1998) para centrarnos en algunas propuestas did\u00e1cticas recientes, sin \u00e1nimo de exhaustividad pero s\u00ed para ilustrar el estado de la cuesti\u00f3n. Se trata de hacer un brev\u00edsimo repaso de lo que ser\u00e1 nuestro punto de partida.<\/p>\n

En el CREAMAT <\/strong>(Centro de recursos para ense\u00f1ar y aprender las matem\u00e1ticas, que depende de la Generalitat de Catalunya) se edit\u00f3 un video sobre una adaptaci\u00f3n del problema de Buffon, en el que se muestran las tiradas de agujas sobre hojas de papel con l\u00edneas paralelas y del que el profesor Anton Aubanell, adem\u00e1s, elabor\u00f3 una ficha de trabajo, y el profesor Antoni Gom\u00e0, comentarios para el profesorado. Como ya hemos apuntado anteriormente, esta cuesti\u00f3n ha sido tratada formalmente en varios estudios, algunos de ellos online.<\/p>\n

El inter\u00e9s que tiene esta adaptaci\u00f3n es la relaci\u00f3n estrecha que se establece entre probabilidades<\/strong> y geometr\u00eda<\/strong> a trav\u00e9s de la proporci\u00f3n de \u00e1reas, de tal modo que se muestran v\u00ednculos entre apartados de la asignatura de matem\u00e1ticas que habitualmente parecen totalmente independientes.<\/p>\n

La adaptaci\u00f3n del CREAMAT se presenta en un doble sentido. En primer lugar, se propone una aproximaci\u00f3n emp\u00edrica del n\u00famero \u03c0. Se trata de lanzar muchas veces una aguja (o palo) de longitud l <\/em>sobre una hoja (o lienzo) con l\u00edneas separadas una distancia l<\/em>. La proporci\u00f3n de agujas que tocan alguna l\u00ednea en relaci\u00f3n al n\u00famero de<\/p><\/blockquote>\n

lanzamientos totales se deber\u00eda aproximar a 2\/\u03c0, y de ah\u00ed que se pueda obtener una aproximaci\u00f3n de \u03c0 mediante la expresi\u00f3n \u03c0aprox<\/sub>=2N\/A<\/em>, donde N<\/em> es el n\u00famero total de lanzamientos y A<\/em> el n\u00famero de veces que el palo ha tocado alguna l\u00ednea. Existen aproximaciones usando este m\u00e9todo mediante el uso de las TIC, y m\u00e1s particularmente del programa Geogebra.<\/p>\n

En esta experiencia no se hace un c\u00e1lculo aproximado de la probabilidad, sino que de lo que se trata es de calcular, como ya se ha dicho, una aproximaci\u00f3n a un n\u00famero irracional. No es este el objetivo del presente trabajo por cuanto no se puede demostrar al alumnado de forma comprensible el valor de dicha probabilidad y, por ese motivo, abandonaremos este sendero.<\/p><\/blockquote>\n

En segundo lugar, la otra propuesta que ofrece el CREAMAT es un replanteamiento del problema: lanzar una moneda sobre l\u00edneas o cuadr\u00edculas de forma totalmente aleatoria, calcular la probabilidad que la moneda toque alguna l\u00ednea y luego hacer una comprobaci\u00f3n emp\u00edrica<\/strong>. Esta manera de trabajar permite establecer una conexi\u00f3n directa entre proporcionalidad geom\u00e9trica y probabilidad, siendo de inter\u00e9s esta l\u00ednea de razonamiento para el presente trabajo, y por tanto ser\u00e1 este nuestro punto de partida.<\/p>\n

Propuesta did\u00e1ctica para 4\u00ba ESO<\/h2>\n

Lo que nos proponemos es, por un lado, el c\u00e1lculo de la probabilidad te\u00f3rica de que una moneda de 0,01\u20ac, al ser lanzada sobre un dibujo teselado (o mosaico) dibujado en una hoja de papel tama\u00f1o A3 toque alguna de las l\u00edneas dibujadas<\/strong>. Por el otro lado, se trata de hacer numerosos lanzamientos para ver qu\u00e9 tal buena es la aproximaci\u00f3n de la probabilidad te\u00f3rica a trav\u00e9s de la probabilidad emp\u00edrica<\/strong>. Es por este motivo que es aconsejable trabajar en grupos para as\u00ed conseguir bastantes lanzamientos para este \u00faltimo c\u00e1lculo.<\/p>\n

La ubicaci\u00f3n de esta actividad se podr\u00eda plantear en diversos cursos de ESO, pero la madurez adquirida por el alumnado en 4\u00ba puede permitir una mayor comprensi\u00f3n de lo que se est\u00e1 haciendo, y en particular de la relaci\u00f3n entre proporcionalidad geom\u00e9trica y probabilidad. De hecho, estamos relacionando dos de las \u00e1reas descritas en la Orden ECD\/65\/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluaci\u00f3n de la educaci\u00f3n primaria, la educaci\u00f3n secundaria obligatoria y el bachillerato. En efecto, dentro de la competencia matem\u00e1tica<\/u><\/strong> existen las \u00e1reas \u201cEl espacio y la forma<\/strong>\u201d y \u201cLa incertidumbre y los datos<\/strong>\u201d, que se interconectan completamente en el presente art\u00edculo.<\/p>\n

El planteamiento de esta actividad se puede llevar a cabo de diferentes modos, ya sea aportando el profesorado el dibujo sobre la que se tiene que lanzar la moneda, como haciendo que lo dise\u00f1e el alumnado. Si la elabora el profesorado, no es necesario que d\u00e9 las medidas de las figuras que se representen. Llegados a este punto, se propone como ejemplo un caso en que se lleva a clase un teselado.<\/p>\n

La siguiente figura representa algunos de los dibujos que se pueden proporcionar al alumnado (cada tipo en una hoja de papel diferente):<\/p>\n

\"buffon\"<\/p>\n

Se puede hacer, por ejemplo, que el di\u00e1metro de las circunferencias sea el doble del de la moneda<\/strong>, y que este hecho tenga que ser descubierto por el alumnado. As\u00ed, se pueden hacer mosaicos homot\u00e9ticos<\/strong> o proporcionales para intentar establecer relaciones entre unos y otros.<\/p>\n

Para calcular la probabilidad te\u00f3rica, el alumnado tiene que deducir que se trata simplemente de un problema de proporcionalidad geom\u00e9trica. Los pasos a seguir son:<\/p>\n

    \n
  1. Se tiene que calcular la pieza \u201cm\u00ednima\u201d<\/strong> (tesela) del mosaico que se va repitiendo (con alguna modificaci\u00f3n en el caso de las l\u00edneas paralelas). Con id\u00e9nticas teselas, puestas en la posici\u00f3n conveniente, se tiene que poder reconstruir el mosaico entero, sin que se superpongan ni que queden huecos. Los casos m\u00e1s complejos de entre los propuestos en la Figura 1 son los de las circunferencias, ya que la pieza \u201cm\u00ednima\u201d en el primer caso es un cuadrado (que no est\u00e1 dibujado) y en el segundo caso un hex\u00e1gono regular (se pueden considerar figuras m\u00e1s peque\u00f1as, como por ejemplo, en el segundo caso, tri\u00e1ngulos regulares, pero no resulta tan intuitivo para el alumnado y pese a que se pueden hacer los c\u00e1lculos posteriores del mismo modo, le podr\u00eda resultar menos visual. De ah\u00ed el entrecomillado de la palabra \u201cm\u00ednima\u201d).<\/li>\n
  2. Se tienen que tomar las medidas adecuadas<\/strong> de esta tesela<\/strong> para poder calcular su \u00e1rea. En la Figura 2 ser\u00e1 el \u00e1rea del hex\u00e1gono.<\/li>\n
  3. Se tiene que medir el radio de la moneda<\/strong> (este paso es opcional, pero recomendable).<\/li>\n
  4. Se tiene que dibujar y calcular el \u00e1rea<\/strong>, dentro de la tesela, de la zona en que se puede situar el centro de la moneda sin que \u00e9sta toque ninguna l\u00ednea. En la Figura 2 ser\u00e1 el \u00e1rea del c\u00edrculo sombreado.<\/li>\n
  5. La probabilidad te\u00f3rica<\/strong> es 1 menos el cociente entre el \u00e1rea de la pieza \u201cm\u00ednima\u201d y el \u00e1rea de la zona en que puede caer el centro de la moneda sin que toque ninguna l\u00ednea.<\/li>\n<\/ol>\n

    \"buffon\"<\/p>\n

    <\/a><\/p>\n

    El c\u00e1lculo de la probabilidad emp\u00edrica es muy sencillo ya que se trata de ir lanzando la moneda y averiguar la frecuencia relativa de las veces que esta toca alguna l\u00ednea.<\/p><\/blockquote>\n

    M\u00e1s adelante se propondr\u00e1 una ficha de trabajo con las pautas necesarias para que el alumnado pueda trabajar y llegar por s\u00ed mismo a las conclusiones correctas. Adem\u00e1s, se espera que cada grupo haga una exposici\u00f3n oral donde explique todo el proceso que ha llevado a cabo as\u00ed como los resultados obtenidos.<\/p>\n

    Propuesta did\u00e1ctica para Bachillerato<\/h2>\n

    La propuesta que se hace para Bachillerato va mucho m\u00e1s all\u00e1, ya que se desarrollar\u00e1 de forma totalmente virtual. La tesela plana<\/strong>, en este caso, se tiene que transformar en una malla tridimensional mediante hexaedros, paralelep\u00edpedos o esferas an\u00e1logamente a lo que hab\u00edamos hecho en el plano (tambi\u00e9n se puede considerar un haz de planos paralelos). La moneda, a su vez, se transformar\u00e1 en una esfera.<\/p>\n

    \"buffon\"<\/p>\n

    La probabilidad te\u00f3rica de que al lanzar una bola (suponiendo que esta puede quedar suspendida en el aire) y que toque una cara de la malla tridimensional se calcula de forma an\u00e1loga como se hac\u00eda en el plano, pero donde antes se buscaban \u00e1reas, ahora se buscar\u00e1n vol\u00famenes<\/strong>.<\/p>\n

    La dificultad, en cambio, aparece en el c\u00e1lculo de la probabilidad emp\u00edrica, puesto que el supuesto de que la bola pueda quedar suspendida en el aire es ciencia ficci\u00f3n. Se puede simplificar el c\u00e1lculo trabajando solo con una pieza \u201cm\u00ednima\u201d tridimensional. Hecho esto, ser\u00e1 necesario establecer un sistema de coordenadas y calcular el rango en que se puede mover la bola sin tocar ninguna cara de la malla.<\/p><\/blockquote>\n

    A partir de aqu\u00ed el lanzamiento de la bola se tendr\u00e1 que convertir en una generaci\u00f3n aleatoria de ternas dentro del rango de coordenadas en que hayamos situado la pieza \u201cm\u00ednima\u201d. Hecha esta parte, la m\u00e1s complicada sin duda, la probabilidad emp\u00edrica vuelve a ser un simple c\u00e1lculo de frecuencia relativa.<\/p>\n

    La inserci\u00f3n de esta actividad en el nivel de Bachillerato queda totalmente justificada por el uso necesario de los sistemas de coordenadas en tres dimensiones y por la parametrizaci\u00f3n necesaria en aras de poder establecer los rangos en los que se puede mover, por un lado, el generador de n\u00fameros aleatorios<\/strong> y, por el otro, el centro de la esfera virtual<\/strong> con la que se trabajar\u00e1.<\/p>\n

    Se requieren, adem\u00e1s, conocimientos inform\u00e1ticos para trabajar con m\u00e9todos iterativos de generaci\u00f3n de coordenadas aleatorias, conteo de casos favorables o an\u00e1logos que permitan trabajar esta actividad.<\/p><\/blockquote>\n

    Papel del profesorado en la actividad<\/h2>\n

    A la hora de llevar a cabo esta actividad en ESO<\/strong>, en un primer momento el profesorado tiene que conocer el nivel de conocimiento de la materia, as\u00ed como las aptitudes del alumnado para componer los grupos de trabajo. Una opci\u00f3n es trabajar con grupos homog\u00e9neos y otra con grupos heterog\u00e9neos. Ambas opciones son plausibles en el trabajo aqu\u00ed propuesto, pero se tiene que tener en consideraci\u00f3n qu\u00e9 ejercicios tiene que hacer cada agrupaci\u00f3n seg\u00fan la tipolog\u00eda de alumnado que la compone.<\/p>\n

    En el caso de que se trabaje con grupos homog\u00e9neos<\/strong> se debiera considerar dar teselas seg\u00fan la posibilidad de que el alumnado pueda llegar al resultado deseado<\/strong>. Durante todo el proceso de trabajo, el profesor tendr\u00e1 que poner especial atenci\u00f3n a los grupos con mayor dificultad para que puedan avanzar, sin que eso signifique que no tenga que observar tambi\u00e9n al resto para ver si avanzan por buena senda. En cambio, si los grupos <\/strong>sonheterog\u00e9neos <\/strong>se pueden dar diversas teselas <\/strong>a cada grupo teniendo en cuenta, tambi\u00e9n su composici\u00f3n.<\/p>\n

    En un primer momento, una vez hechos los grupos, el profesorado tiene que explicar la actividad y lo que se espera que consiga el alumnado, pero sin necesidad de dar muchas pistas. A continuaci\u00f3n, se dan las teselas, la moneda y alguna ficha como la que se propondr\u00e1 en el apartado siguiente.<\/p><\/blockquote>\n

    Cuando el alumnado empiece a trabajar el profesorado tiene que ser un mero acompa\u00f1ante<\/strong>, observando los pasos de aqu\u00e9l y simplemente dando pistas de resoluci\u00f3n en caso de que vea que se ha encallado o que ha cometido alg\u00fan error. En ning\u00fan caso se espera que sea el profesorado quien resuelva la actividad. Es importante que observe, y si de da el caso aconseje, en situaciones en que los resultados sean divergentes (cosa que no significa que sean incorrectos), como por ejemplo cuando las medidas tomadas fallen por alg\u00fan mil\u00edmetro o cuando las probabilidades emp\u00edricas obtenidas sean (y en general lo ser\u00e1n) diferentes.<\/p>\n

    \"buffon\"<\/p>\n

    Para el caso de Bachillerato,<\/strong> tambi\u00e9n es aconsejable trabajar en grupos. Aunque al alumnado de este nivel se le pueda suponer autonom\u00eda, la actividad puede tener tanta complejidad como para que se le vaya haciendo alguna explicaci\u00f3n a lo largo del proceso. Aparte del c\u00e1lculo de las probabilidades emp\u00edrica y te\u00f3rica, ser\u00e1 importante que descubran que el sistema de referencia que escojan no altera los resultados<\/strong>, de tal manera que si por ejemplo se trabaja con una malla como la de la Figura 3 es suficiente suponer que el lado de cada cubo mide 1 unidad (habr\u00e1 que transformar convenientemente la esfera, evidentemente, pero es muy sencillo y m\u00e1s cuando se trabaja con el ordenador).<\/p>\n

    Ficha de trabajo para 4\u00ba ESO<\/h2>\n

    La ficha que se d\u00e9 a los alumnos puede tener un contenido como el siguiente, que es meramente orientativo. En el caso de grupos homog\u00e9neos no todos han de contestar todas las preguntas sobre todo las m\u00e1s complicadas, como puede ser la n\u00famero 6.<\/p>\n

      \n
    1. Tira la moneda 100 veces sobre el mosaico proporcionado.<\/strong>\n